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Explicación de los temas vistos semana a semana
Es el lugar geométrico de un lugar geométrico de un punto que se mueve por el plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos que pertenecen al mismo plano es siempre igual a una constante. A los dos puntos fijos se les llama focos. Elementos de la elipse:
Excentricidad de la elipse: Se define como excentricidad (e) de la elipse a la razón de la medida del eje focal. Su fórmula es la siguiente: Ecuaciones de la elipse: A continuación se proporciona una galería de imagenes con ejercicios resueltos de elipse:
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Es el lugar geométrico de todos los puntos P(x.y) tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano(focos) es constante. Elementos de la hipérbola: Centro: C(h,k) Focos: F y F' Vértices: V y V' Eje transverso: VV' Eje imaginario: la recta que pasa por U y U' Eje conjugado: UU' y asíntotas Formulario para ejercicios de hipérbola: Ejemplos de ejercicios resueltos de hipérbola:
La palabra "Hexamantes" proviene de “hexa” = seis y “amantes” = triángulos equiláteros. Estos son las doce únicas figuras que se pueden formar con seis triángulos equiláteros. Los hexamantes también cumplen muchas propiedades y algunas muy parecidas a las de los pentominós. Golomb hablaba de otro posible puzzle basado en triángulos equiláteros unidos también por un lado. Como la figura más elemental posible es la que se obtiene uniendo entre sí dos triángulos equiláteros, que equivale al diamante de la baraja francesa, este tipo de figuras fueron bautizadas a principios de los sesenta por el matemático escocés T.H. O’Beirne como "poliamantes". Igual que en los poliminós son iguales una figura y su reflexión en un espejo, es decir, si se levanta, voltea y coincide con la otra. Son estas figuras con las que vamos a jugar. A continuación aparecen los doce hexamantes junto con el nombre que se les suele adjudicar, la mayoría de ellos elegidos por el matemático O'Beirne y que sirven como regla mnemotécnica para recordar las formas. Una actividad consistiría en construir piezas geométricas, a ser posibles con algún nivel de simetría, utilizando todos o parte de los hexamantes. A continuación presentamos algunas figuras que se pueden construir con este puzzle. Utilizando sólo algunos hexamantes La figura más fácil de conseguir es la del romboide, pues existe mucha variedad de tamaños. Se pueden construir todos los romboides con un lado de medida tres unidades (donde la unidad es la medida del lado del triángulo base, de los que se utilizan seis para construir los hexamantes) y el otro lado variando desde 4 hasta 12. El número de piezas necesarias para construirlos coincide con el valor de ese último lado. Utilizando todos los hexamantes Las figuras están conseguidas con las doce piezas. A continuación les mostramos el proceso y el resultado del trabajo hecho con los hexamantes.
Se define como parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Partes que componen una parábola: Foco: Es el punto fijo F. Directriz: Es la recta fija . Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vértice: Es el punto V de intersección de la parábola con su eje. Radio vector: Es un segmento que une cualquier punto de la parábola con el foco. Lado recto: Cuerda focal que es perpendicular al eje. Ecuaciones de la parábola: A continuación les mostramos ejercicios resueltos de parábola: La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro. Una circunferencia está formada por:
Ecuaciones de la circunferenciaForma ordinaria Dadas las coordenadas del centro de la circunferencia C(h,k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x". En caso de que el centro de la circunferencia este ubicado en el origen, h y k tendrán valor de 0, por lo que la ecuación se podría tomar de la siguiente manera: Forma general Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si desarrollamos las operaciones, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:
Hemos estado viendo algunas características de la recta tales como la distancia entre dos puntos, su pendiente, su ángulo, relación entre ellas, etc. Con ello, ya tenemos elementos que nos servirán para obtener la ecuación de las rectas en sus distintas formas. Recta: Se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente. Distintas formas de la ecuación de la rectaLas formas de representar una recta con una ecuación son las siguientes: A continuación se muestra un ejemplo obteniendo la la ecuación simétrica de una en forma cartesiana:
Paralelismo: Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales entre si, esto implica que tienen el mismo ángulo de inclinación y sus tangentes son iguales. Lo podemos representar de la siguiente manera: Perpendicularidad: Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signo contrario, tienen ángulos de inclinación que difieren en 90°, esto implica que sus tangentes son recíprocas y difieren en signo, es decir, el producto de sus pendientes es igual a -1. Se representa de la siguiente forma: Ejemplo expresado gráficamente:
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de la fórmula: Donde m son las pendientes de cada una de las rectas. El criterio por el cual se ordenan las pendientes es que m1 es la pendiente de la recta donde inicia el ángulo y m2 la pendiente de la recta donde termina el mismo (el ángulo se traza en sentido antihorario).
EJEMPLO: Se denomina pendiente a la inclinación de un elemento lineal, natural o constructivo respecto de la horizontal. Para calcular la pendiente dados los puntos de la recta se utiliza la fórmula: Tenemos que conocer las coordenadas x,y de los vertices de la recta (no paralela al eje y). Para calcular el ángulo de la pendiente se utiliza la fórmula: Para calcular el área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices se aplica la siguiente fórmula: La forma en la que se ordenan los datos para sustituirlos en dicha fórmula es la siguiente:
El procedimento que se debe realizar es el siguiente:
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Angel Limones Quirino3°CA Archives
Noviembre 2016
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